Ez a cikk megvizsgálja, mi az ortonormális alap egy mátrixot, és hogyan lehet őket megtalálni a MATLAB-ban a orth() funkció.
Mik a mátrix ortonormális alapjai
A Lineáris algebrában a ortonormális alap véges dimenziójú V vektortér bázisai ortonormális vektorok hol a ortonormális vektorok azok az egységvektorok, amelyek merőlegesek egymásra, vagyis a pontszorzatuk nulla.
Tekintsük az x és y kétegységes vektorokat, ezek egymásra merőlegesek lesznek, ha „x.y=0” . Ezt a két vektort is nevezik ortonormális vektorok .
Miért kell az ortonormális alapot számolnunk?
Ortonormális alap hasznos egy vektor másik vektorra való vetületének megtalálásához vagy a két vektor közötti távolság megállapításához. Használhatunk egy ortonormális alap szimulációink kerekítési hibájának csökkentése érdekében, és ennek egyetlen oka az, hogy az ortonormális bázis vektorai függetlenek egymástól, így az egyik vektor hibája nem terjedhet át más vektorokra. Továbbá a koordináták megtalálása és a lineáris transzformáció végrehajtása sokkal könnyebb, ha az alapunk ortonormális.
Hogyan találjuk meg a mátrix ortonormális alapját a MATLAB-ban?
A MATLAB-ban megtalálhatjuk a ortonormális alap a beépített segítségével orth() függvény, amely felelős a meghatározásáért ortonormális alap egy adott mátrixból. Ez a függvény egy mátrixot fogad el kötelező paraméterként, és egy mátrixot biztosít kimenetként, amely tartalmazza a ortonormális alap az adott bemeneti mátrixból.
Szintaxis
A orth() függvény a MATLAB-ban a következő szintaxisokkal valósítható meg:
Q = orth ( A,tol )
Itt,
- A funkció Q = ort(A) meghatározásáért felelős ortonormális alap A tartományra, ahol a Q kimeneti mátrix oszlopai jelentik a ortonormális alap és az A mátrix tartományát spamelik. Ezenkívül A rangja megegyezik a Q oszlopainak számával.
- A funkció Q = orth(A,tol) meghatározásáért felelős ortonormális alap a tűréshatárt meghatározó A tartományra. Az A bemeneti mátrix szinguláris értékeit, amelyek kisebbek, mint a tűrés, nullaként kezeljük a Q oszlopok számának befolyásolásával.
1. példa: Hogyan találjuk meg a teljes rangú mátrix ortonormális alapját a MATLAB-ban?
Ez a MATLAB kód határozza meg a ortonormális alap Az adott n=3 méretű A négyzetmátrixból a orth() funkció. Ez a kód az A mátrix rangját is megtalálja a rang() funkcióval ellenőrizheti, hogy a bemeneti mátrix teljes rangú.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rang ( A )
Q = orth ( A )
2. példa: Hogyan számítsuk ki egy ranghiányos mátrix ortonormális alapját a MATLAB-ban?
Ebben a példában a orth() funkció segítségével megtalálhatja a ortonormális alap az adott ranghiányos A mátrixból. Az A mátrix ranghiányos, mert rang(K)
r = rang ( A )
Q = orth ( A )
3. példa: Hogyan találjuk meg a teljes rangú mátrix ortonormális alapját a tolerancia megadásával a MATLAB-ban?
A megadott példa kiszámítja a ortonormális alap az adott A teljes rangú négyzetmátrix mérete n=3 használni a orth() funkció alapértelmezett toleranciával. Mivel A egy teljes rangú mátrix, A és Q mérete (ortogonális alap) ugyanaz, ami jelen esetben 3×3. A példa ezután kiszámítja a ortonormális alap A tűrés 0,5 értékének megadásával, hogy A 0,5-nél kisebb értékeit szinguláris értéknek tekintse. A-ban három szinguláris érték van, tehát A-nak két ortonormális oszlopvektora van, ahogyan azt a Qtol mátrix.
A = rand ( 3 ) ;r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Következtetés
Megtalálni a ortonormális alap A vektortér meghatározása a lineáris algebra fontos fogalma, amely bonyolult matematikai probléma. Ez azonban egyszerűen és hatékonyan megoldható a MATLAB beépített használatával orth() funkció. Ez a cikk bemutatja ennek a függvénynek a megvalósítását különböző szintaxisok és példák segítségével.