2. fejezet: Boole-algebra és a kapcsolódó számítógép-összetevők

2. fejezet: Boole-algebra és a kapcsolódó számítógép-összetevők

2.1 Alapvető logikai operátorok

Tételezzük fel, hogy én (a szerző) magas vagyok, te (az olvasó) pedig magas. Ha valaki megkérdezi, hogy mindketten magasak vagyunk-e, azt mondanád, hogy „Igen” (igaz). Ha megkérdezi, hogy mindketten alacsonyak vagyunk-e, azt mondanád, hogy „Nem” (hamis). Ha alacsony vagy, én pedig magas vagyok, és megkérdezi, hogy te vagy én magasak vagyunk-e, a válaszod „Igen” (igaz) lesz. Ha azt kérdezi, hogy te és én is magasak vagyunk-e, nem kapna választ. Folytathatja azt, hogy az utolsó kérdést nem szabad feltenni, vagy a kérdésre nincs válasz. Nos, szeretném, ha tudná (az olvasó), hogy bizonyos körülmények között ma fel kell tenni a kérdést.

A biológiában az ember vagy magas vagy alacsony. A „környezeti” feltételek teszik az embert középmagassá. Egy tudós, George Boole válaszokat vagy szabályokat határozott meg az ilyen kérdésekre. Ezeket a szabályokat az online karriertanfolyam ezen részében tanuljuk meg (fejezet). Ezeket a szabályokat ma a számítástechnikában, a programozásban, az elektronikában és a távközlésben használják. Valójában e szabályok nélkül nem lenne számítógépe, ahogy az manapság megszokott; nem is lenne programozásod, ahogy az manapság megszokott.

Igaz vagy hamis
Egy egyszerű emberi nyelvű állítás önmagában igaz vagy hamis. Ha azt mondom, hogy „magas vagyok”, az vagy igaz, vagy hamis. Ha azt mondom, hogy „magas vagy”, az vagy igaz, vagy hamis. Ha én magas vagyok, te pedig alacsony, és felteszik a kérdést, hogy te és én is magasak vagyunk-e, akkor a logikai logikában igaz vagy hamis választ kell adni. A kettő közül melyiket kell adni? Boole nem igazán válaszolt erre a kérdésre. Egyszerűen kitalált egy szabályokat, amelyeket be kell tartanunk. A jó hír az, hogy ha ezeket a szabályokat a megfelelő kontextusukban követi, akkor nincs kétértelműség. Ezeknek a szabályoknak köszönhetően ma már számítógépünk és programozásunk van. A szabályok most adottak. A szabályokat nem igazán lehet megmagyarázni; csak elfogadod őket. A szabályok három címszó alatt találhatók: ÉS, VAGY és NEM.

ÉS
A kérdés feltehető, ha te ÉS én is magasak vagyunk. Az én magasságomat és az Ön magasságát az ÉS szabályrendszer kombinálja. Ezeket az ÉS szabályokat kell követni:

hamis ÉS hamis = hamis
hamis ÉS igaz = hamis
igaz ÉS hamis = hamis
igaz ÉS igaz = igaz

Most legyen a magas igaz, a rövid pedig hamis. Ez azt jelenti, hogy ha én alacsony vagyok ÉS te alacsony, akkor te és én alacsonyak vagyunk. Ha én alacsony vagyok ÉS te magas vagy, te és én alacsonyak vagyunk; ez a logikai válasz, amit el kell fogadnod. Ha én magas vagyok ÉS te alacsony, akkor te is, én is alacsonyak vagyunk. Ha én magas vagyok ÉS te magas vagy, te és én magasak vagyunk. Mindezek ÉS logikai szabályok, amelyeket Önnek (az olvasónak) csak el kell fogadnia.

VAGY
Feltehető a kérdés, hogy te VAGY én magas vagyok. Az én magasságomat és az Ön magasságát a VAGY szabályrendszer kombinálja. Az alábbi VAGY szabályokat kell követni:

hamis VAGY false = hamis
hamis VAGY igaz = igaz
igaz VAGY hamis = igaz
igaz VAGY igaz = igaz

Még egyszer: a magas legyen igaz, a short pedig hamis. Ez azt jelenti, hogy ha én alacsony vagyok, VAGY te alacsony, akkor te VAGY én alacsony vagyok. Ha én alacsony vagyok, VAGY te magas vagy, akkor te vagy én magas vagyok. Ha én magas vagyok, VAGY te alacsony, akkor te VAGY én magas vagyok. Ha én magas vagyok VAGY te magas vagy, akkor te vagy én magas vagyok. Ezek mind logikai szabályok, amelyeket el kell fogadnia.

NEM
Most a logikai logikában csak két állapot (lehetséges válasz) létezik. Vagyis ha NEM magas, akkor alacsony. Ha NEM alacsony, akkor magas; semmi más. Ezek a NEM követendő szabályok:

NEM hamis = igaz
NEM igaz = hamis

Tételezzük fel, hogy van egy húrja (vagy rugója), amelyet meghosszabbíthat (húzhat). Amíg a húr természetes állapotában van, ha azt mondom, hogy „NEM rövid”, akkor meghosszabbítanád; ez az értelmezés. Amíg a karakterlánc meghosszabbodik, ha azt mondom: „NEM hosszú”, akkor megengednéd, hogy összehúzódjon; ez az értelmezés.

Meg kell tanulnod az összes megadott szabályt a különböző kategóriákban.

Több mint két operandus
Egy számítógépes nyelvben az ÉS, VAGY és NEM mindegyiket operátornak nevezik. A NOT operátorhoz csak egy operandusra van szükség (egy operátorhoz tartozó érték) a válaszhoz. Az ÉS vagy VAGY operátorok esetén kettőnél több operandus is lehet. Az előző esetek két operandust mutatnak az ÉS és a VAGY számára. Három operandusa lehet az ÉS az alábbiak szerint:

hamis ÉS hamis ÉS hamis = hamis
hamis ÉS hamis ÉS igaz = hamis

Ez két sor; mindegyiknek két ÉS operátora van. Valójában kilenc sor van, amikor az operandusok három. Az ÉS operátorral csak az utolsó sor (kilencedik sor) egyenlő az igaz értékkel; az összes előző sor hamis. Vegye figyelembe, hogy az ÉS két operandusa esetén csak az utolsó sor igaz még mindig; mind az előző három sor hamis. Ha az operandusok négyek, akkor 16 sor van, és csak az utolsó sor igaz az ÉS operátorra.

Az ÉS és a VAGY minta eltérő. Két VAGY operátor három operandusa esetén szintén kilenc sor van, és ezúttal csak az első sor hamis. A másodiktól a kilencedik sorig igaz. Vegyük észre, hogy az VAGY két operandusa esetén csak az első sor igaz még mindig; mind a maradék három sor hamis. Ha a VAGY operandusok négyek, akkor 16 sor is van.

A NOT operátor csak egy operandussal foglalkozik. A NEM hamis igaz, a NEM igaz pedig hamis.

2.2 Két operandus igazságtáblázata és elektronikus komponenseik

A matematikában van egy algebra nevű téma. Ennek egy kis része az előző fejezetben volt látható. Létezik egyfajta algebra, az úgynevezett Boole-algebra. A Boole-algebrában az igazat a két alapszámjegy azonosítja, amely 1, a hamisat pedig a két alapjegy, amely 0.

A számítógép belső egységei elektronikus alkatrészek. A számítógépes rendszer rendszeregysége digitális elektronikus alkatrészekkel rendelkezik. Az ÉS műveletet egy kis elektronikus alkatrész, az ÉS kapu végzi. A VAGY műveletet a VAGY kapunak nevezett kis elektronikai alkatrész végzi. A NOT műveletet a NOT kapunak nevezett kis elektronikai alkatrész végzi. Ezen kapuk közül túl sok lehet egy integrált áramköri (IC) chipben.

ÉS Igazságtáblázat és kapuja
A következő táblázat az ÉS igazságtáblázatot és annak ÉS kapu (kis áramkör) szimbólumát tartalmazza:

Mind az ÉS igazságtáblázat, mind annak kapuja esetében A és B két bemeneti változó. Q a kimeneti változó. A értéke 1 vagy 0. B 1 vagy 0. Q 1 vagy 0. Az ÉS igazságtáblázat 1-gyel és 0-val megegyezik az előző igaz/hamis ÉS igazság elrendezéssel (táblázattal). Az ÉS egyenlet a következő:

A . B = Q

ahol a pont (.) azt jelenti, ÉS (logikai). A pont elhagyható, ha AB = Q, ami ugyanazt jelenti (ÉS).

Megjegyzés: Az A és B bitjei a négy sorban, mint párok, a második bázis első négy száma, amelyek 0-tól (vagy 00-tól) kezdődnek, azaz 00, 01, 10, 11.

A következő táblázat a VAGY igazságtáblázatot és annak VAGY kapu (kis áramkör) szimbólumát tartalmazza:

Mind az VAGY igazságtáblázathoz, mind a kapujához A és B két bemeneti változó. Q a kimeneti változó. Az 1-es és 0-s VAGY igazságtábla megegyezik az előző igaz/hamis VAGY igazság elrendezéssel (táblázattal).

Az VAGY egyenlet a következő:

A + B = Q

Ahol a + itt logikai VAGY, és nem összeadást jelent. Az egyenlet a következőképpen értelmezhető: „A vagy B egyenlő Q”.

A következő táblázat a NEM igazságtáblázatot és a NEM kapu (kis áramkör) szimbólumát tartalmazza:

A NEM igazságtáblázatnak vagy a NEM kapunak csak egy bemenete és egy kimenete van. Ha a bemenet 0, a kimenet 1. Ha a bemenet 1, a kimenet 0. A NOT kapu egyfajta inverziót hajt végre. A kimeneti változó megegyezik a bemeneti változóval, csak egy sávval (átvonallal). A NEM igazság táblázat 1-esekkel és 0-kkal megegyezik az előző igaz/hamis VAGY igazság elrendezéssel (táblázattal).

A NOT egyenlet:

A = Q

Ahol Q = A és az A feletti sáv itt kiegészítést jelent. A 0 komplementere 1, az 1 komplementere pedig 0. A NEM kaput INVERTING kapunak is nevezik.

Ezek az alapvető (vagy gyökér) igazságtáblázatok és azok kapui (kis áramkörei) a digitális elektronikában (a Boole-algebrával). Az alábbi ábrán látható másik három igazságtáblázat és a hozzájuk tartozó kapuk a kényelem kedvéért, és az előző három igazságtáblázaton alapulnak.

Van egy igazságtábla és -kapu, amelyek az ÉS igazságtáblázatból és -kapuból származnak. Ezeket NAND (for NOT AND) igazságtáblázatnak és a megfelelő NAND-kapunak nevezik. A NAND igazságtábla és a hozzá tartozó NAND-kapu:

A NAND igazságtábla megszerzéséhez lépjen az ÉS igazságtábla kimenetére, és cserélje ki az egyes számjegyeket a komplementerjére. A 0 komplementere 1, az 1 komplementere pedig 0. A NAND-kapu olyan, mint az ÉS-kapu, de van egy kis köre a kimeneti sor előtt. A NAND egyenlet a következő:

Ahol az „A” ÉS „B” eredményének komplementerét jelenti. A sávot (a vonal felett) a kapuban a kis kör képviseli. Vegye figyelembe, hogy az A és B közötti pont elhagyható.

Van egy másik igazságtáblázat és -kapu, amelyek a VAGY igazságtáblázatból és -kapuból származnak. Ezeket NOR (for NOT OR) igazságtáblázatnak és a megfelelő NOR kapunak nevezik. A NOR igazságtábla és a NOR kapuja:

A NOR igazságtábla megszerzéséhez lépjen a VAGY igazságtábla kimenetére, és cserélje ki az egyes számjegyeket a komplementerjére. A 0 komplementere 1, az 1 komplementere pedig 0. A NOR-kapu olyan, mint a VAGY-kapu, de van egy kis köre a kimeneti sor előtt. A NOR egyenlet:

Ahol az „A” VAGY „B” eredményének komplementerét jelenti. A sávot (overline) a kapuban a kis kör képviseli.

Exkluzív VAGY (XOR)
Az OR-kapu igazságtáblázata a következő:

A normál angol nyelven nem világos, hogy az 1 VAGY 1 utolsó sora 1-et vagy 0-t adjon. Tehát a Boole-algebrában kétféle VAGY igazságtáblázat és két megfelelő kapu van. A normál VAGY esetén az 1 VAGY 1 utolsó sora 1-et ad. A VAGY másik típusa a kizárólagos VAGY (XOR), ahol az első három sor megegyezik a normál VAGY első három sorával (beleértve a kimenetet). A negyedik és az utolsó sorban azonban 1 VAGY 1 0-t ad.

A következő táblázat az XOR igazságtáblázatot és annak XOR kapu (kis áramkör) szimbólumát tartalmazza:

Mind az XOR igazságtábla, mind annak kapuja esetében „A” és „B” két bemeneti változó. A „Q” a kimeneti változó.

Az XOR egyenlet a következő:

A ⊕ B = Q

Ahol a ⊕ itt logikai XOR-t jelent.

A normál VAGY az egyiket vagy mindkettőt jelenti. A kizárólagos VAGY azt jelenti, hogy szigorúan bármelyik és nem mindkettő.

2.3 Logikai posztulátumok

A posztulátumok olyan feltételezések, amelyek alapján bizonyos következtetéseket vonnak le. Tíz logikai posztulátum létezik, amelyek az ÉS, VAGY és NEM egyenletekből (igazságtáblázatok) gyökereznek. Ezeket az egyenleteket függvényeknek is nevezik. Az alapvető funkciókat a következőképpen másoljuk:

Ezek az alapvető függvények (egyenletek) a Boole-algebrában. A következő három másik (függvény) egyenlet nem alapvető függvény:

Bár az utolsó funkció itt különös, nem tekinthető alapvető funkciónak.

A Boole-féle posztulátumok a következők:

Az ÉS függvényből
1) 0 . 0 = 0
húsz . 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1

A VAGY funkcióból
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1

A NEM funkcióból
9) 0 = 1
10) 1 = 0

Jegyzet: Ezek a posztulátumok csak az ÉS, VAGY és NEM igazságtáblázatok független módon kifejezett sorai. Az olvasónak meg kell jegyeznie a megadott posztulátumokat.

2.4 Logikai tulajdonságok

Egy tulajdonság valaminek a jellemzője. A logikai tulajdonságok olyan egyenletek, amelyek a Boole-féle posztulátumokból származnak. Ebben a részben a tulajdonságokat egyszerűen megadjuk származtatásuk nélkül, majd utólag használjuk. A tulajdonságok közül huszonöt tíz címszó alá van csoportosítva az alábbiak szerint:

Az ÉS függvény tulajdonságai

1. tulajdonság:

Ahol X lehet 1 vagy 0. Ez azt jelenti, hogy nem számít, mi az X, az eredmény mindig 0.

Megjegyzés: A változó nem feltétlenül lehet A vagy B, C vagy D. A változó lehet W vagy X, Y vagy Z vagy bármilyen más betű.

2. tulajdonság:

Ahol X lehet 1 vagy 0. Vegyük észre, hogy az 1. tulajdonság és a 2. tulajdonság között az a különbség, hogy mindkét egyenlet egyenlőségjelének bal oldalán az X és a 0 helyzete felcserélődik.

3. tulajdonság:

Ha X 0, akkor 0. 1 = 0. Ha X 1, akkor 1. 1 = 1.

4. tulajdonság:

Ha X 0, akkor 1. 0 = 0. Ha X 1, akkor 1. 1 = 1. Figyeljük meg, hogy a 3. tulajdonság és a 4. tulajdonság között az a különbség, hogy mindkét egyenlet bal oldalán a X és 1 felcserélődnek.

A VAGY függvény tulajdonságai

5. tulajdonság:

Ahol X lehet 1 vagy 0. Ez azt jelenti, hogy ha X 0, akkor az eredmény 0. Ha X értéke 1, az eredmény 1.

6. tulajdonság:

Ahol X lehet 1 vagy 0. Vegye figyelembe, hogy az 5. és a 6. tulajdonság között az a különbség, hogy mindkét egyenlet bal oldalán az X és a 0 helyzete felcserélődik.

7. tulajdonság:

Ha X 0, akkor 0 + 1 = 1. Ha X 1, akkor 1 + 1 = 1.

8. tulajdonság:

Ha X 0, akkor 1 + 0 = 1. Ha X 1, akkor 1 + 1 = 1. Figyeljük meg, hogy a 7. és a 8. tulajdonság között az a különbség, hogy mindkét egyenlet bal oldalán a X és 1 felcserélődnek.

Egy változó önmagával vagy komplementerével való kombinációjára vonatkozó tulajdonságok

9. tulajdonság:

Azaz: ha X 0, akkor 0 . 0 = 0. Ha X 1, akkor 1 . 1 = 1.

10. tulajdonság:

Azaz: ha X 0, akkor 0. 1 = 0. Ha X 1, akkor 1. 0 = 0.

Egymást követő változók esetén ez a tulajdonság a következő lesz:

11. tulajdonság:

Azaz: ha X 0, akkor 0 + 0 = 0. Ha X 1, akkor 1 + 1 = 1 (normál VAGY-ból).

12. tulajdonság:

Azaz: ha X 0, akkor 0 + 1 = 1. Ha X = 1, akkor 1 + 0 = 1.

Azaz: ha X 0, akkor 0 + 1 = 1. Ha X = 1, akkor 1 + 0 = 1.

Kettős kiegészítés

13. tulajdonság:

Ha a bal oldalon lévő X értéke 0, akkor a jobb oldali X 0 lesz. Ha a jobb oldalon lévő X értéke 1, akkor a bal oldalon lévő X 1 lesz. kettős kiegészítés visszaadja az eredeti értéket.

Kommutatív jog

14. tulajdonság:

Ez azt jelenti, hogy az első és a második operandus felcserélése az ÉS operátorral, az egyenlőségjel bal oldalán, nem számít; a válasz a bal oldali csere után is ugyanaz. Ez az egyenlet a pontok elhagyásával a következőképpen írható fel: XY = YX.

15. tulajdonság:

A magyarázat itt ugyanaz, mint az előző ÉS-ben, de az OR operátorra vonatkozik.

Elosztási törvény

16. tulajdonság:

Itt három változó van: X, Y és Z. Mindegyik változó lehet 1 vagy 0. Az egyenlőségszimbólum bal oldalán a zárójelek azt jelentik, hogy először értékeljük ki, mi van benne. Ekkor az ÉS az eredmény X-szel. A jobb oldal azt mondja, hogy az X ÉS Y együtt, VAGY az X ÉS Z együtt, ugyanaz, mint a bal oldal. Vegye figyelembe, hogy az ÉS-ek pont operátora mindvégig kimaradt; az összekapcsolt változók pedig továbbra is ÉS-et jelentenek.

17. tulajdonság:

Ez a tulajdonság a 16. tulajdonság kiterjesztése W hozzáadott változóval.

Társulási jog

18. tulajdonság:

A zárójelek azt jelentik, hogy először értékeljük ki, mi van a zárójelben. Tehát a bal oldali kifejezésnél, ha Y és Z először ÉS, X pedig ÉS az eredménnyel, akkor a bal oldali végeredmény megegyezik a jobb oldali végeredménnyel. -kézoldal, ahol az X és az Y először ÉS, mielőtt az eredményt Z-vel megírná. Vegye figyelembe, hogy a pontok kimaradtak az egyenletből.

19. tulajdonság:

Ez a tulajdonság a 18-as tulajdonsághoz hasonlóan magyarázható, de az AND operátor helyett az VAGY operátort alkalmazzák. Az OR operátor + soha nem kerül ki a logikai kifejezésből az egyszerűség kedvéért. Másrészt az ÉS operátor elhagyható, és a két változó összekapcsolható.

Abszorpció

20. tulajdonság:

Ezzel az egyenlettel, függetlenül attól, hogy mi Y, a jobb oldal mindig X lesz (elnyelt).

21. tulajdonság:

Ezenkívül ezzel az egyenlettel, függetlenül attól, hogy mi Y, a jobb oldal mindig X lesz (elnyelt). Ez a 21-es tulajdonság megegyezik a 20-as tulajdonsággal, amely:

Itt az elosztási törvényt használjuk, és azt a tényt, hogy X.X = a 9. tulajdonság X.

Egy identitás

22. tulajdonság:

Ez azt jelenti, hogy az X + Y kifejezésnél az X komplementere Y előtt nem változtatja meg a kifejezést.

23. ingatlan:

Ez azt jelenti, hogy az XY kifejezésnél az X ORed zárójelben lévő Y komplementere, amely először történik meg, nem változtatja meg az XY kifejezést.

DeMorgan törvénye

24. tulajdonság:

Ez azt jelenti, hogy a NOR (NOT OR) kapunak ugyanaz az eredménye, mint ha a két bemenetet JEGYZETEK MEG, mielõtt AND-ot vennénk.

25. ingatlan:

Ez azt jelenti, hogy a NAND (NOT AND) kapunak ugyanaz az eredménye, mint a két bemenet JEGYZÉSE ELŐTT VAGY.

A mellékelt illusztrációk a 25 tulajdonságot mutatják be. Bizonyíthatók úgy, hogy a bal oldali kifejezésekben az 1-esek és 0-k összes lehetséges értékét behelyettesítjük, hogy megnézzük, megkapjuk-e a jobb oldali kifejezést (vagy eredményt). A bizonyítást gyakorlatként hagyjuk az olvasónak.

2.5 Összetett kifejezések egyszerűsítése

A következő két funkció megegyezik:

Z a kimenet, X, W és Y pedig a bemenetek. Az elsőhöz egy NAND-kapu, egy VAGY-kapu, egy ÉS-kapu, két NEM-kapu, egy VAGY-kapu és egy NOR-kapu kell. A másodikhoz mindössze két ÉS kapu kell. Az első egyenlet egy összetett kifejezéssel, a jobb oldalon, amelyet a második egyenlet egyetlen jobb oldali kifejezésére egyszerűsítettünk (redukáltunk).

Az egyszerűsítés vagy csökkentés kevesebb kapuhoz vezet, hogy ugyanazt a funkciót hajtsák végre, mint egy áramkör. Egy ilyen kisebb áramkör lehet egy integrált áramkör (IC) része, vagy lehet önálló áramkör a számítógép alaplapjának felületén.

Amikor egy függvény (egyenlet) megérkezik a tervezési folyamathoz, egyszerűsítésre van szükség, hogy csökkentsék a kapuk számát, és olcsóbb áramkört kapjanak. Az egyszerűsítéshez a korábbi huszonöt logikai tulajdonság közül egyet vagy többet kell alkalmazni.

2.51. példa:

Csökkentse az egyenletet:

Jegyzet: Két egymás melletti zárójel azt jelenti, hogy a zárójelek ÉS-jellel vannak ellátva (a közöttük lévő pontot opcionálisan nem írták ki).

Megoldás:
A megoldásoknál az egyes lépések indoklása (indoklása) a lépés jobb oldalán, zárójelben található. Az olvasónak el kell olvasnia minden lépést és annak indoklását. Az olvasónak az előző tulajdonságokra is hivatkoznia kell a függvénycsökkentési lépések olvasásakor.

2.52. példa:

Egyszerűsítés:

2.6 Termékek minimális összege

A következő két funkció megegyezik:

Mindkét egyenlet mindkét jobb oldali kifejezése Termékösszeg (SP) formában van. Egy kifejezett kifejezésről azt mondjuk, hogy a Termékösszeg formában van, ha nem tartalmaz zárójelet. Nyilvánvaló, hogy az első függvénynek (egyenletnek) több kapura van szüksége, mint a második függvénynek.

Az első jobb oldali kifejezés még csökkenthető a második függvény eléréséhez. A második jobb oldali kifejezés nem egyszerűsíthető tovább, és továbbra is Termékösszegként (a kifejezések „kiegészítése”) fejezhető ki. A második jobb oldali kifejezést nem igazán lehet tovább egyszerűsíteni. Tehát azt mondják, hogy a minimális termékösszeg (MSP) formában van.

2.61. példa:
Először hozza a következő függvényt a Termékösszeg, majd a Termékek Minimális összege képernyőre.

Megoldás:
Az ehhez hasonló problémák megoldása során az előző huszonöt tulajdonság közül egyet vagy többet kell használni, ahogy az ebben a megoldásban is látható:

2.6 Termékek minimális összege

A következő két funkció megegyezik:

Mindkét egyenlet mindkét jobb oldali kifejezése Termékösszeg (SP) formában van. Egy kifejezett kifejezésről azt mondjuk, hogy a Termékösszeg formában van, ha nem tartalmaz zárójelet. Nyilvánvaló, hogy az első függvénynek (egyenletnek) több kapura van szüksége, mint a második függvénynek.

Az első jobb oldali kifejezés még csökkenthető a második függvény eléréséhez. A második jobb oldali kifejezés nem egyszerűsíthető tovább, és továbbra is Termékösszegként (a kifejezések „kiegészítése”) fejezhető ki. A második jobb oldali kifejezést nem igazán lehet tovább egyszerűsíteni. Tehát azt mondják, hogy a minimális termékösszeg (MSP) formában van.

2.61. példa:
Először hozza a következő függvényt a Termékösszeg, majd a Termékek Minimális összege képernyőre.

Megoldás:
Az ehhez hasonló problémák megoldása során az előző huszonöt tulajdonság közül egyet vagy többet kell használni, ahogy az ebben a megoldásban is látható:

Ez az utolsó kifejezés a termékek összege (SP) formában van, de nem a termékek minimális összege (MSP) formában. A kérdés első részére megválaszolták. A második rész megoldása a következő:

Ez az utolsó egyszerűsített függvény (egyenlet) MSP formában van, és kevesebb kapura van szüksége a megvalósításhoz, mint a megfelelő SP formája. Ne feledje: az SP a termékek összegét, míg az MSP a termékek minimális összegét jelenti.

2.62. példa:
A következő áramkör X, Y és W bemenettel rendelkezik, Z a kimenet. Állítsa elő a termékösszeg (SP) függvényt (termékek látszólagos minimális összege függvény) Z számára. Ezután állítsa elő a valódi, csökkentettebb (minimalizált) termékösszeget (MSP). Ezután valósítsa meg az MSP áramkört (rajzolja meg az MSP kapuzási hálózatot).

2.61. ábra A kapuzási áramkör

Megoldás:
Az egyszerűsítési folyamat megkezdése előtt a Z kifejezést X, Y és W kifejezésekkel kell megadni. Tekintse meg a diagramon látható példát:

Ez a Z kifejezés X, Y és W kifejezésekben. Ezt követően megtörténhet a látszólagos MSP-vé való egyszerűsítés. A látszólagos MSP az SP.

Ez az utolsó egyenlet (függvény) SP formában van. Nem igaz, Minimum Sum of Products (még nem MSP). Tehát a csökkentést (minimalizálást) folytatni kell.

Ez az utolsó egyenlet (függvény) egy valódi minimális termékösszeg (MSP). És a termékek minimális összege (valós minimalizálás) kapuzási áramkör:

2.62. ábra MSP kapuzási áramkör

Megjegyzés
Az ebben a részben található elemzésből látható, hogy nem egyértelmű, hogy a Termékösszeg a Minimális Termékösszeg-e vagy sem. Az SP nem túl hasznos. Az MSP nagyon hasznos. Van egy biztos módja az MSP megszerzésének; ez a Karnaugh térkép használata. A Karnaugh Map túlmutat ezen online karriertanfolyamon.

2.7 Problémák

Javasoljuk, hogy az olvasó az összes problémát egy fejezetben oldja meg, mielőtt a következő fejezetre lépne.

1. Készítse elő az ÉS, VAGY és NEM igazságtáblázatokat a megfelelő kapukkal.
2. Írja le a tíz logikai posztulátumot különböző kategóriáiba, és nevezze meg a kategóriákat.
3. Magyarázat nélkül írja le a Boole-algebra huszonhat tulajdonságát különböző kategóriákban, nevezze meg a kategóriákat!
4. Csökkentse az egyenletet a logikai tulajdonságok és a használt kategóriák idézésével.



5. Csökkentse az egyenletet a logikai tulajdonságok és a használt kategóriák idézésével.



6. A logikai tulajdonságok felhasználásával és a használt kategóriák idézésével redukálja le a következő egyenletet – először a termékek összegére, majd a termékek minimális összegére:



7. A logikai tulajdonságok felhasználásával és a használt kategóriák idézésével redukálja le a következő egyenletet – először a termékek összegére, majd a termékek minimális összegére: